Il naît dans le quartier barcelonais du Poble Sec. Fils de Bartolomé, Barcelonais, et d'Ana, originaire de Fraga (Huesca). Il grandit avec ses deux sœurs dans le même quartier, dans la boutique de tailleur « Boix » que tenait son père, au contact des milieux libertaires. C'est avec son père, photographe amateur, qu'il apprend la technique photographique, et en 1934 il entre comme apprenti dans le studio de photographie Romagosa.

À la fin de la guerre, il s'exile en France, où il passe par les camps de réfugiés du Vernet et de Septfonds. Capturé ensuite par les Allemands dans le nord de la France, il est déporté au camp de concentration de Mauthausen, où il arrive le 27 janvier 1941.

À Mauthausen, il rejoint le travail d'Antonio García Alonso, affecté au Service d'identification du camp, en raison de son métier de photographe. Il assume peu à peu des responsabilités dans la documentation photographique, aux côtés de José Cereceda, à la fin de 1943. À partir de 1944, il participe au vol de négatifs, avec l'appui des cercles de résistance des républicains de Mauthausen. Les négatifs sont récupérés et mis à l'abri par l'Autrichienne Anna Pointner, à son domicile.

Après la libération du camp, le PCE charge Boix de rassembler toute la documentation sur le camp. Ses illustrations sont publiées dans plusieurs livres.

Lors de la constitution du Tribunal international de Nuremberg, Boix apporte des preuves grâce à ses photographies. Quelques mois plus tard, il présente sa documentation photographique devant le tribunal militaire américain de Dachau. Les photographies que Boix et ses compagnons ont réussi à sauver ont été déterminantes pour la condamnation de hauts responsables nazis lors des procès de Nuremberg, en 1946. Boix fut le seul Espagnol à y comparaître comme témoin.

Le Parti communiste continue à l'employer, pour documenter des événements politiques, jusqu'à sa mort en 1951, des suites de son internement, à l'hôpital Rothschild de Paris.

La figure de Francesc Boix a inspiré plusieurs œuvres : les chroniques Los catalanes en los campos nazis de Montserrat Roig (1977) et Francisco Boix, el fotógrafo de Mauthausen (2002), ainsi que le documentaire Francisco Boix. Un fotógrafo en el infierno (2000), de Llorenç Soler.

En septembre 2001, la Mairie de Barcelone lui rend hommage en posant une plaque sur la façade de sa maison natale et en donnant son nom à la bibliothèque du quartier du Poble Sec.

En février 2013, la Comissió de la Dignitat acquiert aux enchères, avec le soutien financier de près de cinquante particuliers, environ 1 400 photographies et négatifs des années de la Seconde République et de la guerre civile, dont un soldat français s'était emparé au camp d'Argelès.

Après une étude approfondie des images et des légendes manuscrites par l'association Fotoconnexió de Barcelone, leur paternité est attribuée à Francisco Boix et à son père, Bartolomé. Jugées d'une grande valeur documentaire, elles ont été cédées aux Archives nationales de Catalogne. Les négatifs de Mauthausen, propriété de l'Amicale de Mauthausen, sont déposés au Musée d'histoire de la Catalogne.

En 2017, à la suite d'une campagne de l'Amicale de Mauthausen de Paris, le gouvernement français accepte de transférer sa dépouille au cimetière du Père-Lachaise, où reposent de nombreuses personnalités, en reconnaissance de son combat contre le nazisme. En juin, un hommage institutionnel lui est rendu au même endroit, en présence de représentants de la Mairie de Paris, de l'Amicale de Mauthausen, de la Generalitat de Catalogne et de la Mairie de Barcelone. Sur sa tombe, on peut lire l'inscription suivante : « Déporté en 1941, à l'âge de vingt ans, au camp de Mauthausen. Animé d'un grand courage, il déroba aux SS des documents photographiques accablants pour les nazis. »

Le 5 mars 2019, la bibliothèque de l'Institut Cervantes d'Oran reçoit le nom de Francesc Boix.